Инвестиции являются переменными потока

§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей

В предыдущей главе были обсуждены непрерывные постоян­ные потоки платежей. Там предполагалось, что годовая сумма R Непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой Поток денежных поступлений или выплат не является единствен­Но возможным. На практике, особенно при анализе производст-

1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.

Венных инвестиций, поток платежей может существенно изме­няться во времени, в том числе следуя какому-либо закону. Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Л, =/(‘)> то общая сумма поступлений за время П рав­на Ff[t]dt. В этом случае наращенная сумма (при начислении О процентов используется процентная ставка в виде силы роста 6) находится как Современная стоимость такого потока определяется как Для того чтобы рассчитать величины А и 5, необходимо оп­ределить конкретный вид функции изменения платежей и зна­чения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить, исходя из соотношения Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функ­ция потока: RT= Rq + At, (6.28) Где /^ — начальный размер платежа, выплачиваемого в едини­цу времени, в котором измеряется срок ренты. Современная стоимость получена с помощью интегрирова­ния функции потока платежей: A «jf(/io +at)e- Byt Dt « В^е’ Ш Л + Ajte’ Bxt — Я0 + -)аК6—пе- ЬхП RodЪъ + — (а „;5 — Пе~ Ьхп )а 5 Где АП.6 — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты. В последней записи наглядно представлено влияние началь­ного размера платежа и приростов. ПРИМЕР 6.9. Намечается В Течение Трех Лет Увеличивать Выпуск Продукции На 1 Млн Руб. Ежегодно. Базовый Уровень Выпуска — 10 Млн Руб. Необходимо Определить Суммарный Объем Выпуска С Начисленными Процентами. Сила Роста 8%. Определим Коэффициент Приведения Современная Стоимость Ренты А = 1 1 <> + «^Г1 2 .66715 — —Г—Гг—Зе 0 — 08 * 3 = 30,5 Млн Руб. [ 0.08J 0,08 Искомая Наращенная Сумма S = 30,5 Х 1,08 3 = 38,4 Млн Руб. Экспоненциальный рост платежей. Функция потока платежей Где Q — непрерывный темп прироста платежей. Современная величина такой ренты определяется следую­щим образом: П П I Л. Л Я « Ь \ Rfei’e^’dt — RCe^ > Dt — R У 6 )» _ 1 -R- -. Разность Q — Ь определим следующим образом: где К — дискретный темп прироста. А. ЯСе»‘е- Ы Л. ЯСе^’- -« ПРИМЕР 6.10. Ожидается, Что Прирост Доходов Составит 5% В Год. Какова Современная Стоимость И Наращенная Сумма Потока Доходов, Если Я = 100, / = 7%, П = 3 Года. Из Условий Задачи Сле­Дует: 1 + 0,05 Таким Образом, В -0,01887×3 — «J S = А(1 + /) 3 = 291,5 Х 1,07 3 = 357,1.

§6.5. Конверсии рент

Виды конверсии. В практике иногда сталкиваются со случая-ми, когда на этапе разработки условий контракта или даже в хо­де его выполнения необходимо в силу каких-либо причин из­менить условия выплаты ренты. Иначе говоря, речь идет о Кон­Вертировании Условий, предусматриваемых при выплате финансо­Вой Ренты. Простейшими случаями конверсии являются: заме­на ренты разовым платежом (выкуп ренты), или наоборот, за­мена разового платежа рентой (рассрочка платежа). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну — Консолидация рент. Общий случай конверсии — замена ренты с одними условиями на рен­ту с другими условиями, например, немедленной ренты на от­ложенную, годовой — на ежеквартальную и т. д. Ясно, что все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к измене­нию финансовых последствий для каждой из участвующих сто­рон, то конверсия должна основываться на принципе финансо­вой эквивалентности (см. гл. 4). Конверсия рент широко применяется при Реструктурирова­Нии задолженности. Как известно, при этом нередко условия погашения долга смягчаются, однако принцип эквивалентности соблюдается и в этих случаях, обычно, правда, в урезанном, ес­ли так можно сказать, виде. Подробнее о реструктурировании долга будет сказано в гл. 9. Здесь же обсудим несколько основ­ных случаев конверсии рент. Выкуп ренты. Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом. Решение проблемы здесь очень простое. Искомый размер выкупа должен быть равен современ­ной стоимости выкупаемой ренты. Для решения задачи в зави­симости от условий погашения задолженности выбирается та или иная формула расчета современной стоимости потока пла­тежей. Естественно, что применяемая при расчете современной стоимости процентная ставка должна удовлетворять обе участ­вующие стороны. Рассрочка платежей. Обсудим теперь задачу, обратную выку­пу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и стороны согласились, что задолженность будет погаше­на частями — в рассрочку, то последнюю удобно осуществить в виде выплаты постоянной ренты. (В. М. Третьяков, например, предлагал В. В. Верещагину оплатить несколько его картин пу­тем выплаты соответствующего аннуитета.) Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, сумме дол­га. Задача обычно заключается в определении одного из пара­метров этой ренты — члена ренты или ее срока — при условии, что остальные параметры заданы. Подобного рода задачи под­робно обсуждались в § 5.4, поэтому здесь нет смысла останав­ливаться на них. Объединение (консолидация) рент. Объединение рент, оче­видно, заключается в замене нескольких рент одной, парамет­ры которой необходимо определить. В этом случае из принци­па финансовой эквивалентности следует равенство современ­ных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидирован­ных) рент, что соответствует равенству Где А — современная стоимость заменяющей ренты, А — сов­ременная стоимость?-й заменяемой ренты. Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и /ьсрочными и т. д. Что касается за­меняющей ренты, то следует четко определить ее вид и все па­раметры, кроме одного. Далее, для получения строгого баланса условий, необходимо рассчитать размер неизвестного парамет- Pa Исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного Параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если за­Меняющая рента постнумерандо является немедленной и задан Ее срок я, то из (6.32) следует R = —Т ± . (6.33) В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок Новой ренты. Обычно задача сводится к расчету П По заданно­Му значению АНЧ (см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расче­Та величина коэффициента приведения определяется условия­Ми задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем: А„., = : = — JL -r-. (6.34) Если 2, AQ Известно, то, определив на основе (6.34) величину Ч П, Получим Как видим, для того чтобы задача имела решение, необходи­Мо соблюдать условие: ПРИМЕР 6.11. Три ренты постнумерандо — немедленные, годо­вые — заменяются одной отложенной на три года рентой постну­мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: RQ = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20%, то сумма современных стоимостей этих рент составит немного бо­лее 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6.1). Зг = 960,189 Тыс. Руб. Если Бы Заменяющая Рента Была Немедленной, То 2002,946 Я = 1^^» = 555 ‘ 665 ТЫСРУ 6 — Источники: Https://studfile. net/preview/4631543/page:33/